数学等积变形，行程问题，工程问题，比例问题，打折销售，储蓄问题的公式

一、数学等积变形，行程问题，工程问题，比例问题，打折销售，储蓄问题的公式

顺流速度=逆流速度+2×水速=静水速度+水速

逆流速度=顺流速度-2×水速=静水速度-水速

静水速度=顺流速度-水流速度=逆流速度+水流速度

水流速度=顺流速度-逆流速度

利润=成本×利润率

利润=售价-成本

售价×折扣率-成本=利润（打折销售）。

利润率=（定价-成本）÷成本

预定售价=成本×（1+利润率）

路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间

速度差×追及时间=追及路程 追及路程÷速度差=追及时间(同向追及) 甲路程―乙路程=追及时相差的路程

工效×工时=工作总量；

工作总量÷工时=工效；

工作总量÷工效=工时。

行程问题：V=st

工程问题:1/分率

二、共边模型是什么

共边模型包括等积变形、一半模型和燕尾模型

三、圆的阴影部分的面积怎么求

一共十种方法

一、和差法

不规则图形实施分割、叠合后，把所求的图形面积用规则图形面积的和、差表示，再求面积．

二、割补法

对图形合理分割，把不规则图形补、拼成规则图形后，再求面积．

三、等积变形

运用平行线性质或其他几何图形性质把不规则图形面积转化为与它等面积的规则图形来.

四、平移法

一些图形看似不规则，将某一个图形进行平移变换后，利用平移的性质，把不规则的图形的面积转化为规则图形的面积来计算

五、旋转法

一些图形看似不规则，把某个图形进行旋转变换后，利用旋转的性质，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积，再进行计算．

六、对称法

一些图形看似不规则，利用轴对称和中心对称的性质，把不规则图形进行轴对称和中心对称变换，转化为规则图形的面积，再进行计算．

七、整体法

当已知条件不能或不足以直接求解时，可整体思考，化单一、分散为整体，把所求的未知量整体转换为已知量，再将问题整体化求解．

八、方程法

有些图形的局部可以看成某个规则图形，或某些图形具有等面积的性质，这时可以把它们的关系用方程( 组) 来表示，再解方程( 组) ，求出图形的面积．

九、推算法

某些题目运用已知条件，和图形的性质或定理进行推理，可把阴影部分面积用某个式子表示，从而求得不规则图形的面积．

十、特殊位置法

根据题目条件，对一些不规则阴影问题采取运动变换，将图形放置于特殊位置，并不影响所求问题的结果，这时可采用特殊位置时情形求得不规则阴影部分的面积．

四、下图是一种独特的推导圆面积的方法

如果圆面积是7a²，那么它的外切正方形面积就是9a²，为此推出圆面积等于直径3分之1平方的7倍。圆的面积公式： s=7(d/3)²。

 八三年春节刚过，在一次画棋盘时从棋子与棋盘中产生灵感。圆形的棋子分别放在棋盘上的每个方格内，每个方格恰好是每个棋子的外切方格。方格的面积等于棋子直径的平方；棋盘(整个格内)的面积等于棋子的数量乘以棋子直径的平方。(棋子的直径用Q表示、方格的边长用a表示)。                                                      

∵Q=a，∴Q²=a²   即：棋盘(整个格内)的面积s=72Q²=72a².             

那么是不是采用不同数量的棋子与(棋子)直径的平方就可以计算出：正方形、长方形或圆的面积呢？                                     

面积本是单位方的多少，单位方的多少称为面积。由此，各种形状的面积都是根据一定数量的单位方的有序排列拼成的。                                                      

若把每个方格看做为一个单位方、每个棋子看做为一个单位圆，当一个单位方称为一个方点、一个单位圆称为一个圆点时。圆点变大，外切方点也对应变大；圆点变小，外切方点也对应变小。                                                                                      

在一定数量的方点与方点有序排列拼成的是一个整个形状的面积，方点的数量用n表示，一个整个形状的面积是na²。                                           

在一定数量的圆点与圆点有序排列相切成的是一个整个形状的轮廓。说白了,一个轮廓就是棋子与棋子(按点构成某种形状的意义)有序排列相切成的“骨架”。                                                              

由于每个圆点都是每个方点的内切圆点，当每个方点的面积减去圆点的面积时，剩下的“四角面”则为“肉”。肉随骨架，骨架(轮廓)变形，肉也跟随着添补轮廓上的空隙去软化等积变形。                                   

圆点与圆点以什么形状的定义去排列相切就会构成一个什么形状的轮廓，轮廓上就有一个什么形状的外切形。轮廓的外切形就是所有有限的方点的面积所占据的面的边缘。                                   

面积等积变形时，是面的边缘构成了轮廓的外切形。圆点的数量也用n表示，整个形状的面积是nQ²。                                                        

∵Q²=a²,∴nQ²=na².一个面积上有多少个圆点就有多少个方点

在任一个形状的面积上都会显现出：有多少个圆点与圆点的有序排列相切所构成的一个某种形状的轮廓，在这个轮廓的外切形内就有多少个方点与方点跟随着软化等积变形,形成面的边缘构成的轮廓外切形和它有限的面积n Q²或na²。                                                                  

当n Q²为正方形轮廓时，n是任一个正方形数；( 圆点与圆点排列相切构成一个正方形的轮廓所限的数量为正方形数)。                       

当n Q²为长方形轮廓时，n是任一个长方形数；( 圆点与圆点排列相切构成一个长方形的轮廓所限的数量为长方形数)。                       

当n Q²为圆轮廓时，n是圆数。( 圆点与圆点排列相切构成一个圆形的轮廓所限的数量为圆数)。                                                                                                               

同一个数量的方点，方点的位置变化会拼凑成各种不同的一个(外形)形状为割补等积变形。                                                    

同一个数量的圆点，圆点的位置变化会相切成各种不同形状的一个轮廓，每个不同形状的轮廓的外切形为软化等积变形。也就是每个圆点携带着每份软化的“四角面”一同构成每个不同形状的一个轮廓的外切形和面积。                                                                   

面积的软化等积变形，无论变成什么形状，在这个形状内都会存在着“有多少个方点就有多少个圆点；或有多少个圆点就有多少个方点”。它们都是以同一个数量的方点或圆点所处的不同位置变化，改变了面积相等形状不同的一个面。                                                  由此，各种形状的面积，既是根据一定数量的单位方的有序排列构成的，也是根据一定数量的单位圆的有序排列成一个轮廓的外切形构成的。                                                      例如：如果用9个圆点与圆点，(也就是9个棋子与棋子)有序排列相切成一个正方形的轮廓（如图-棋盘内,左上角，纵横垂直排列相切成一个两组对边距都是3Q的正方形轮廓）。那么在这9个圆点的轮廓的外切正方形内就有9个方点(也就是9个圆点携带着9份的“四角面”)的面积的和,软化等积变成的面的边缘构成的形状,形成的正方形。(与9个方格拼成的正方形面积同等)。                                                             

∵nQ²=na²,n=9 ∴9Q²=9a²。(9Q²和9a²都是同一个正方形面积）。                                 

 如果用8个圆点与圆点(也就是8个棋子与棋子)有序排列相切成一个长方形的轮廓（如图-棋盘内,右上角，纵横垂直排列相切构成一个两组对边距分别是2Q和4Q的长方形轮廓）。那么在这8个圆点的轮廓的外切长方形内就有8个方点(也就是8个圆点携带着8份软化的“四角面”)的面积的和，软化等积变成的面的边缘构成的形状,形成的长方形。(与8个方格拼成的长方形面积同等)。                                                              

∵nQ²=na²,n=8 ∴8Q²=8a²(8Q²和8a²都是同一个长方形面积）。           

由此推出：“圆点的数量n乘以点径Q的平方等于圆点与圆点有序排列相切成一个轮廓的外切形面积”。圆点的直径叫点径。                             

也就是说：当圆点与圆点有序排列相切成一个轮廓时，在轮廓的外切形内：有多少个棋子就有多少个方格；有多少个单位圆就有多少个单位方；有多少个圆点就有多少个方点构成的面积。                                                                      

所以说：面积的等积变形，既是每个方点的位置变化也是每个圆点的位置变化。圆点的位置变化，改变了一个轮廓的形状变化；一个轮廓的形状变化，会带来轮廓的外切形的变化；轮廓的外切形确定了面积等积变形时,面的边缘位置。面的边缘位置就是轮廓的外切形。               

因为圆点与圆点有序排列相切构成某种形状的轮廓时，具有旋转自由又灵活的特点。所以圆点与圆点既能构成正方形和长方形的轮廓也能构成圆形的轮廓。俗称：“以毒攻毒”，由圆解圆。                                                       

在圆形的轮廓上，从轮廓的外切形内你会发现“构成圆形的轮廓所需圆点的数量仅限于一个圆数7。不同于正方形和长方形的轮廓所需圆点的数量是无限的“正方形数”和“长方形数”。                        

无论圆点的数量有限还是无限，只要具备构成某种形状的轮廓的条件，轮廓上有多少个圆点，轮廓的外切形内就有多少个方点的面积软化等级变成的面的边缘构成的形状与轮廓的外切形重叠。                                                                                                                      如果用7个圆点与圆点（也就是7个棋子与棋子）有序排列相切成一个圆形的轮廓(如图-棋盘,内下方，中间一个圆点，外围六个圆点，“按点构成圆的定义”周期排列相切成一个直径是3Q的圆形轮廓)。那么在这7个圆点的轮廓的外切圆内就有7个方点的面积的和，软化等积变成直径是3Q的面的边缘构成的形状,形成的圆。                                                首先把棋子与方格脱离开分析：一个方格的面积是一个a²，7个方格的面积的和，软化等积变成一个圆面积是7a²。                         

    如(图-1)圆面积是7a²；软化等积变成一个(图-2)H形面积也是7a²；在(图-2)H形上，另外增加两个a²就拼成一个(图-3)正方形面积9a²；把这三个图形称为(上三图)。它们各自面积的大小都是一同随着a的大小变化着的。                                                   

一个棋子是一个圆点,七个棋子就是七个圆点。中间一个圆点,外围六个圆点，围绕一周排列相切构成一个(图-4)直径是3Q的圆形轮廓,轮廓的外切圆面积是S；再由七个圆点排列相切构成一个(图-5）H形轮廓,轮廓的外切H形面积是7Q²；最后用九个圆点排列相切构成一个(图-6)正方形轮廓,轮廓的外切正方形面积是9Q²。把这三个图形称为(下三图),它们各自外切形状面积的大小都是一同随着点径Q的大小变化着的。                           以上六个图形：                                                    

已知：(图-1)圆面积是(图-3)正方形面积的九分之七。(图-4)轮廓的外切圆是(图-6)轮廓的外切正方形的内切圆。a又等于Q 。                     

因为（图-1）圆与(图-4）轮廓的外切圆相似;(图-2)H形与(图-5)轮廓的外切H形相似:(图-3)正方形与（图-6）轮廓的外切正方形相似。所以它们每一组相似形的面积和面积是否相等,都与a和Q有关；或a和Q是否相等,都与每一组相似形的面积和面积有关。               求证：每一组相似形的面积与面积相等,a和Q就相等。                   

证明（一）：如果(图-1)圆面积7a²等于(图-4)轮廓的外切圆面积s，那么(图-3)正方形面积的九分之七【也就是(图-2)H形面积7a²】就等于(图-4)轮廓的外切圆面积s。(图-4)轮廓的外切圆面积s可软化等积变成(图-3)正方形面积的九分之七7a²。此时,(图-1)圆是(图-6)轮廓的外切正方形的内切圆。                                               

例如:当(图-4)轮廓的外切圆面积s是1575px²时。因为(图-1)圆面积7a²等于(图-4)轮廓的外切圆面积s,(图-1)圆面积7a²又是(图-3)正方形面积的九分之七。所以(图-4)轮廓的外切圆面积1575px²可软化等积变成(图-3)正方形面积的九分之七。此时(图-3)正方形面积的九分之七也是1575px²，(图-3)正方形的边长是225px。证明(图-3)正方形面积的九分之七是(图-4)轮廓的外切圆面积。                                                       

又因为(图-4)轮廓的外切圆是(图-6)轮廓的外切正方形的内切圆，(图-1)圆面积又等于(图-4)轮廓的外切圆面积。所以(图-1)圆是(图-6)轮廓的外切正方形的内切圆，(图-1)圆的直径是3Q。                                                                

也就是说:(图-1)圆与(图-4)外圆两圆面积相等,(图-3)正方形面积的九分之七与(图-4)外圆面积s就相等。当(图-4)外圆面积s随着圆点点径Q变大或变小时,(图-3)正方形面积的九分之七和(图-6)外正方形的内切圆面积也一同变大或变小,否则a与Q无关。说明:两圆面积变大,a和Q也对应变大；两圆面积变小，a和Q也对应变小。                                                 证明(二)：如果a和Q相等。那么(图-6)轮廓的外切正方形面积的九分之七【也就是(图-5)轮廓的外切H形面积7Q²】就等于(图-1)圆面积7a²,(图-1)圆面积7a²可软化等积变成(图-6)轮廓的外切正方形面积的九分之七7Q²。此时,(图-4)轮廓的外切圆是(图-3)正方形的内切圆。                                                

例如：当(图-1)圆面积7a²是700px²时。因为a和Q相等，所以(图-3)正方形面积等于(图-6)轮廓的外切正方形面积，(图-3)正方形面积的九分之七和(图-6)轮廓的外切正方形面积的九分之七都分别与(图-1)圆面积700px²相等。(图-1)圆面积700px²可软化等积变成(图-6)轮廓的外切正方形面积的九分之七。此时(图-6)轮廓的外切正方形面积的九分之七也是700px²，(图-6)轮廓的外切正方形的边长是150px。证明(图-6) 轮廓的外切正方形面积的九分之七是(图-1)的圆面积。                                                             

又因为(图-4)外圆是(图-6)外正方形的内切圆，a又等于Q。所以(图-3)正方形的内切圆面积与(图-4)外圆面积相等，(图-4)直径3Q等于(图-3)直径3a ，（图-4）外圆是(图-3)正方形的内切圆。               

也就是说：a和Q相等，(图-6)外正方形面积的九分之七7Q²与（图-1）的圆面积7a²就相等。当(图-1)圆面积7a²变大或变小时,(图-6)外正方形面积的九分之七7Q²和(图-3)正方形的内切圆面积s也一同变大或变小，否则(图-1)圆与(图-4)外圆无关。说明：a和Q一同变大，(图-1)圆和(图-4)外切圆也对应变大；a和Q一同变小,(图-1)圆和(图-4)外切圆也对应变小。                                                                                 从(图-3)和(图-6)不难看出:                                          

如果a=75px ，那么(图-4)的外切圆面积就是1575px²,否则(图-4)的外切圆面积s与(图-1)的圆面积7a²无关；如果Q=50px，那么(图-1)的圆面积就是700px²，否则a与Q无关；如果a=4、Q=4,那么(图-4)外切圆面积s就是112 cm²、(图-1)圆面积7a²也是112 cm²。证明了a和Q不等，两圆面积就不等; a和Q相等，两圆面积就相等。                                                               

所以(图-1)圆和(图-4)外切圆，两圆面积与a和Q的关系是:                        

“两圆面积相等,a和 Q 就相等；a和Q相等,两圆面积就相等”。相反“两圆面积不等,a和 Q就不等；a和Q不等,两圆面积就不等”。                           

因为“a和Q相等，两圆面积就相等”。所以，当已知a=Q时，（图-3）正方形面积的九分之七与(图-6)外切正方形面积的九分之七,是可以互换位置的。也就是(图-1)圆面积软化等积变成了(图-3)正方形面积的九分之七；(图-4)外切圆面积软化等积变成了(图-6)外切正方形面积的九分之七。                                                    

此时，(上三图)依然随a变,(下三图)依然随Q变,a与Q无关。                  

当(上三图)随a变时，即使(图-1)圆面积不等于(图-4)外切圆面积.也不等于(图-6)外切正方形面积的九分之七，但依然等于(图-3)正方形面积的九分之七。也就是说:(图-1)圆,虽然不是(图-6)外切正方形的内切圆，但它依然是(图-3)正方形的内切圆。                                                    

当(下三图)随Q变时, 即使(图-4)外切圆面积不等于(图-1)圆面积也不等于(图-3)正方形面积的九分之七，但依然等于(图-6)外切正方形面积的九分之七。也就是说(图-4)外切圆虽然不是(图-3)正方形的内切圆，但它依然是(图-6)外切正方形的内切圆。                                                                                                           

从(下三图)来看：因为(图-6)外切正方形面积的九分之七等于(图-4）外切圆面积,(图-4)外切圆又是(图-6)外切正方形的内切圆。所以(图-6)内切圆面积是它外切正方形面积的九分之七。                    

也就是说:“正方形面积的九分之七是它的内切圆面积”。                                                 由此推出(上三图)：因为(图-1)圆面积等于(图-3)正方形面积的九分之七，所以(图-1)圆是(图-3)正方形的内切圆。                         

最终发现公理：“圆面积等于它外切正方形面积的九分之七”。             

根据这一公理：如果一个圆面积是175px²。那么它的外切正方形面积就是225px²。                                                        

因为正方形的边长等于正方形面积的平方根，内切圆的直径又等于它外切正方形的边长。所以175px²的一个圆面积它所对应的直径是75px。也就是：在7个棋子的圆形轮廓上有7个方格的面积的和，软化等积变成直径3Q的面的边缘形成轮廓的外切圆。                                             

∵nQ²=na²，n=7.     ∴7Q²=7a²

又∵7a²=S，a=d/3.    ∴圆面积公式：S=7(d/3)²

     HPFYKG 一位不识字的数学发现       dongjingui

二一四年六月二十七日